Окружность с центром О радиуса 12 см описана около треугольника АВС так, что угол АОВ=120 градусов,...

Для решения этой задачи будем использовать свойства окружности, описанной около треугольника, и свойства центральных углов.

1. Центральные углы и хорды:

   • Окружность описана около треугольника ( \triangle ABC ) с центром ( O ).
   • Углы ( \angle AOB = 120^\circ ) и ( \angle BOC = 90^\circ ).
   • Радиус окружности ( R = 12 ) см.

2. Связь между центральным углом и дугой:

   • Длина хорды ( AB ) можно найти через центральный угол ( \angle AOB ).
   • Формула для длины хорды через центральный угол: [ AB = 2R \sin\left(\frac{\angle AOB}{2}\right) ]
   • Подставим значения: [ AB = 2 \times 12 \times \sin\left(\frac{120^\circ}{2}\right) = 24 \times \sin(60^\circ) ]
   • Поскольку ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ): [ AB = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \, \text{см} ]

3. Длина хорды ВС:

   • Аналогично, для хорды ( BC ) и угла ( \angle BOC = 90^\circ ): [ BC = 2R \sin\left(\frac{\angle BOC}{2}\right) ]
   • Подставим значения: [ BC = 2 \times 12 \times \sin\left(\frac{90^\circ}{2}\right) = 24 \times \sin(45^\circ) ]
   • Поскольку ( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} ): [ BC = 24 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} \, \text{см} ]

Таким образом, длины сторон треугольника ( \triangle ABC ) составляют:

• ( AB = 12\sqrt{3} ) см,
• ( BC = 12\sqrt{2} ) см.

Для нахождения длин сторон треугольника АВС нам нужно воспользоваться теоремой косинусов. Поскольку у нас есть радиус окружности и углы, мы можем найти длины сторон следующим образом:

1. Найдем длину стороны АВ: Угол АОВ = 120 градусов, значит, угол АОВ/2 = 60 градусов. Так как треугольник АОВ - равносторонний, сторона АВ равна 2 радиус sin(60 градусов): AB = 2 12 см sin(60 градусов) = 2 12 см √3 / 2 = 12√3 см.

2. Найдем длину стороны ВС: Угол ВОС = 90 градусов, значит, угол ВОС/2 = 45 градусов. Так как треугольник ВОС - прямоугольный, сторона ВС равна радиусу окружности: BC = 12 см.

Таким образом, длины сторон треугольника АВС равны: AB = 12√3 см, BC = 12 см.