Найти площадь параллелограмма ABCD, если AB=13, AD=14, BD=15

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, где известны длины сторон AB, AD и диагональ BD, можно воспользоваться формулой площади через диагонали и угол между ними, либо через стороны и синус угла между ними.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться формулой для площади через высоту или через диагонали. Однако прямых данных для быстрого применения этих формул у нас нет, поэтому можно подойти к задаче через тригонометрию.

1. Используем формулу площади через синус угла между сторонами:

Площадь параллелограмма можно найти, как произведение двух сторон на синус угла между ними:

$S=AB\times AD\times \sin (\mathrm{\angle }BAD)$

2. Вычисляем угол через диагональ:

Зная длины сторон и диагонали, можно применить теорему косинусов в треугольниках ABD и ABC.

Для треугольника ABD:

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\times AB\times AD\times \cos (\mathrm{\angle }BAD)$

Подставим известные значения:

${15}^2={13}^2+{14}^2-2\times 13\times 14\times \cos (\mathrm{\angle }BAD)$

$225=169+196-364\times \cos (\mathrm{\angle }BAD)$

$364\times \cos (\mathrm{\angle }BAD)=365-225$

$364\times \cos (\mathrm{\angle }BAD)=140$

$\cos (\mathrm{\angle }BAD)=\frac{140}{364}$

$\cos (\mathrm{\angle }BAD)=\frac{35}{91}$

Теперь найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество:

${\sin }^2(\mathrm{\angle }BAD)=1-{\cos }^2(\mathrm{\angle }BAD)$

${\sin }^2(\mathrm{\angle }BAD)=1-{\left(\frac{35}{91}\right)}^2$

${\sin }^2(\mathrm{\angle }BAD)=1-\frac{1225}{8281}$

${\sin }^2(\mathrm{\angle }BAD)=\frac{8281-1225}{8281}$

${\sin }^2(\mathrm{\angle }BAD)=\frac{7056}{8281}$

$\sin (\mathrm{\angle }BAD)=\frac{\sqrt{7056}}{91}$

$\sin (\mathrm{\angle }BAD)=\frac{84}{91}$

3. Найдем площадь:

Теперь подставим значения в формулу площади:

$S=13\times 14\times \frac{84}{91}$

$S=182$

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 182 квадратным единицам.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD с помощью известных длин сторон необходимо использовать формулу площади параллелограмма через длины сторон и угол между ними. Пусть угол между сторонами AB и AD равен α. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна S = AB AD sin$\alpha$.

Для нахождения угла α можно воспользоваться теоремой косинусов. Известно, что в треугольнике ABD с длинами сторон AB, AD и BD угол α можно найти следующим образом: cos$\alpha$ = $A{B}^2+A{D}^2-B{D}^2$ / (2 AB AD).

Подставив значения длин сторон AB=13, AD=14, BD=15 в формулу для cos$\alpha$, найдем угол α. После этого можно вычислить синус угла α и, наконец, площадь параллелограмма ABCD.

S = 13 14 sin$\alpha$.