Найти площадь параллелограмма ABCD, если AB=13, AD=14, BD=15

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, где известны длины сторон AB, AD и диагональ BD, можно воспользоваться формулой площади через диагонали и угол между ними, либо через стороны и синус угла между ними.

Для решения этой задачи удобно воспользоваться формулой для площади через высоту или через диагонали. Однако прямых данных для быстрого применения этих формул у нас нет, поэтому можно подойти к задаче через тригонометрию.

1. Используем формулу площади через синус угла между сторонами:

Площадь параллелограмма можно найти, как произведение двух сторон на синус угла между ними:

[ S = AB \times AD \times \sin(\angle BAD) ]

2. Вычисляем угол через диагональ:

Зная длины сторон и диагонали, можно применить теорему косинусов в треугольниках ABD и ABC.

Для треугольника ABD:

[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \times AB \times AD \times \cos(\angle BAD) ]

Подставим известные значения:

[ 15^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \times 13 \times 14 \times \cos(\angle BAD) ]

[ 225 = 169 + 196 - 364 \times \cos(\angle BAD) ]

[ 364 \times \cos(\angle BAD) = 365 - 225 ]

[ 364 \times \cos(\angle BAD) = 140 ]

[ \cos(\angle BAD) = \frac{140}{364} ]

[ \cos(\angle BAD) = \frac{35}{91} ]

Теперь найдем синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2(\angle BAD) = 1 - \cos^2(\angle BAD) ]

[ \sin^2(\angle BAD) = 1 - \left(\frac{35}{91}\right)^2 ]

[ \sin^2(\angle BAD) = 1 - \frac{1225}{8281} ]

[ \sin^2(\angle BAD) = \frac{8281 - 1225}{8281} ]

[ \sin^2(\angle BAD) = \frac{7056}{8281} ]

[ \sin(\angle BAD) = \frac{\sqrt{7056}}{91} ]

[ \sin(\angle BAD) = \frac{84}{91} ]

3. Найдем площадь:

Теперь подставим значения в формулу площади:

[ S = 13 \times 14 \times \frac{84}{91} ]

[ S = 182 ]

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 182 квадратным единицам.

Для нахождения площади параллелограмма ABCD с помощью известных длин сторон необходимо использовать формулу площади параллелограмма через длины сторон и угол между ними. Пусть угол между сторонами AB и AD равен α. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна S = AB AD sin(α).

Для нахождения угла α можно воспользоваться теоремой косинусов. Известно, что в треугольнике ABD с длинами сторон AB, AD и BD угол α можно найти следующим образом: cos(α) = (AB^2 + AD^2 - BD^2) / (2 AB AD).

Подставив значения длин сторон AB=13, AD=14, BD=15 в формулу для cos(α), найдем угол α. После этого можно вычислить синус угла α и, наконец, площадь параллелограмма ABCD.

S = 13 14 sin(α).